Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05

Complex Exponential Function

실수의 거듭제곱을 나타내는 함수를 지수함수(Exponential Function)라고 한다. 고등학교에서 지수함수의 밑과 지수가 실수인 것까지 배웠으나, 각각을 복소수까지 확장할 수 있다. 수학에서 제일 아름다운 수식이라고 일컬어 지는 오일러 공식이 여기에서 나온다.

지수의 확장 (오일러 공식)

지수함수의 지수를 실수에서 복소수로 확장하기 위해서는 우선 지수함수를 다루기 쉬운 다항함수들의 급수형태로 바꿔볼 필요가 있다. 이를 테일러 시리즈 전개라고 한다.

\begin{align}e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\end{align}

\(x\) 대신에 \(ix\) 를 대입해 보자(여기서 \(i\) 는 허수).

\begin{align}e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \cdots\end{align}

정리하면,

\begin{align}\begin{split}e^{ix} &= 1 + i\frac{x}{1!} - \frac{x^2}{2!} -i \frac{x^3}{3!} \\ &+ \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} + \cdots\end{split}\end{align}

실수부와 허수부를 나눠서 다시 정리하면,

\begin{align}\begin{split}e^{ix} &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \\ &+ i \left \{ \frac{x}{1!} -\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \right \}\end{split}\end{align}

테일러 시리즈 전개시 사인과 코사인 함수에 대해서도 배운적인 있는데, 다음과 같다. 우연의 일치(?)인지 모르겠지만 실수부와 허수부와 각각 정확하게 같다.

\begin{align}\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\end{align}

\begin{align}\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\end{align}

따라서 아래와 같이 간단한 수식으로 나타낼 수 있다. 지수의 허수부는 우리가 알고 있는 실수의 삼각함수로 계산할 수 있다. 이 식을 오일러 공식(Euler's Formula)이라 부른다.

\begin{align}e^{ix} = \cos x + i \sin x\end{align}

위의 식에 \(x = \pi\) 를 대입해 보면, \(e^{i\pi} = -1\) 로, 약간만 변형하면 그 유명한 오일러 등식을 얻을 수 있다.

\begin{align}e^{i\pi} + 1 = 0\end{align}

오일러 공식은 수의 기하학적 의미의 마지막에서 나타낸 복소수의 극좌표계 표현과 유사하다.

\begin{align}a + bi &= r(\cos\theta + i\sin\theta) \\ &= r e^{i\theta} \\ &= e^{\ln r + i\theta}\end{align}

여기서 \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(\theta = \arctan(b/a)\) 이다.

그리고 이 공식을 이용하면 극좌표계 등식으로 유명한 드무아브르 공식(de Moivre’s formula)을 쉽게 유도할 수 있다.

\begin{align}(\cos x + i \sin x )^n &= e^{ixn} \\ &= \cos(nx) + i \sin(nx)\end{align}

위 수식을 약간만 변형하면, 우리가 최종적으로 구하려는 일반적인 실수 밑을 갖는 지수함수의 복소수 확장을 만들 수 있다.

\begin{align}x^{a + ib} &= e^{(a + ib)\ln x} = e^{a\ln x + ib\ln x } \\ &= e^{a\ln x} \left \{ \cos(b\ln x) + i\sin(b\ln x) \right \}\end{align}

밑의 확장

실수의 복소수 승을 어떻게 할 수 있는지에 대해서 방금 배웠다. 그런데 지수함수의 밑이 복소수 (\(i^i\))이면 어떻게 될까?

이것을 계산하기 위해서는 우선 로그함수와 삼각함수의 인수를 실수에서 복소수로 확장하는 작업이 필요하다.

로그함수의 복소수화

앞서 지수함수의 복소수화를 잘 정의했기 때문에 로그함수의 복소수화는 다음과 같이 생각해 볼 수 있다.

\begin{align}\ln(a + bi) = \ln \left \{ e^{\ln r + i\theta} \right \} = \ln r + i\theta\end{align}

여기서 \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(\theta = \arctan(b/a)\) 으로 복소평면에서의 삼각형을 떠올리면 된다.

삼각함수의 복소수화

사인과 코사인 함수의 복소수화도 지수함수를 이용해서 만들 수 있다. 오일러 공식이 지수함수와 삼각함수의 관계이기 때문이다.

\begin{align}e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)\end{align}

\begin{align}\begin{split}e^{-ix} &= \cos(-x) + i \sin(-x) \\ &= \cos(x) - i \sin(x)\end{split}\end{align}

위 두 식을 더하거나 빼면 각각 사인과 코사인 함수를 구할 수 있다.

\begin{align}\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}} {2}\end{align}

\begin{align}\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}} {2i}\end{align}

위의 두 식에서 \(x\) 대신에 \(ix\) 를 대입해서 정리하면,

\begin{align}\cos(ix) = \frac{e^{-x} + e^{x}} {2}\end{align}

\begin{align}\sin(ix) = \frac{e^{-x} - e^{x}} {2i}\end{align}

다 되었는데, 이제 사인함수에 대해 일반적인 복소수의 값을 구해보자.

\begin{align}\begin{split}\sin(a + bi) &= \sin(a) \cos(bi) + \cos (a) \sin(bi) \\ &= \sin(a) \frac{e^{-b} + e^{b}} {2} + \cos (a) \frac{e^{-b} - e^{b}} {2i}\end{split}\end{align}

복소수의 복소수 승

이제 복소수의 복소수 승을 구해보자. 가장 단순한 형태를 해보자.

\begin{align}i^i = e^{i\ln i}\end{align}

복소수 \(i\) 는 \(r = 1\), \(\theta= \pi/2\) 이므로, \(\ln i = i \pi/2\) 이다(로그함수의 복소수화 참고). 따라서 위 수식은 다음과 같이 간단히 바뀐다.

\begin{align}i^i = e^{i\ln i} = e^{i i\pi/2} = e^{-\pi/2}\end{align}

이 값은 실수로 \(0.20787957635\cdots\) 이다. 신기하게 \(i\) 의 \(i\) 승이 실수가 나온다. 임의의 복소수에 대해서도 계산이 약간 복잡하긴 못할 것이 없을 것이다.

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